אתגר קטן לקראת המבחן שלי בהסתברות מחר :)

שלום לכל המוכיחים!!!
כפי שידוע לכם, יש לי מחר מבחן. לכן, החלטתי לכתוב לי שאלה מעניינת לקראת המבחן. כמו בכל אתגר שאני מעלה, האדם הראשון שמביא לי תשובה נכונה, מנומקת, ונאותה זוכה בפרסים מענגים ביותר. 

 הצעת בעיה במבוא להסתברות

         נתונים לנו N  בוגרים מהפקולטה למתמטיקה ו-M חוקרים בפקולטה למתטיקה, כאשר הסטודנטים צריכים לבחור מנחה לעבודת התזה שלהם, כאשר כל חוקר יכול לקבל לכל היותר 2 סטודנטים, וכל סטודנט יכול לקבל לכל היותר מנחה אחד.

          הסטודנטים מדרגים את M החוקרים דירוג מ-1 עד M (M – הכי מעוניין בחוקר, 1 – לא מעוניין בחוקר). נסמן G_{i_j} הדירוג של הסטודנט ה-i של המרצה ה-j. בסוף התהליך, נסמן את ההסתברות שהסטודנט ה-i יבחר את המרצה ה- j ע"י P_{i_j}=\frac{G_{i_j}}{\sum_{k=1}^{M}G_{i_k}} .

         כמו כן, החוקרים מדרגים את N הסטודנטים בצורה דומה.

         הסטודנטים עוברים בין החוקרים בסדר יורד של דירוג (שהסטודנט נתן למרצה), עד שיש חוקר שמקבל את הסטודנט.

         מרצה j יקבל סטודנט i אם P_{j_i} \geq \frac{G_{j_i}}{2\sum_{k=1}^{N}G_j_k}.

לצורך הפשטות, נניח כי הדירוגים נעשים באופן אקראי לחלוטין, וכי מספר המרצים שמדרגים את הסטודנט ה-i מעל הציון המכריע שווה לתוחלת של משתנה מקרי זה לכל i.

1.     יהי  X_i מספר הדחיות של הסטודנט ה-i עד שחוקר יקבל אותו. מצא את ההתפלגות, תוחלת, ושונות של X_i

2.     יהי Y_i מספר סטודנטים שהמרצה ה-j דחה עד שקיבל סטודנט ראשון. מצא את התפלגות, תוחלת, ושונות של Y_i.

3.     יהי W_k מספר המנחים עם k סטודנטים עבור k=0,1,2. מצא Cov(W_k, W_{k+1 עבור  k=0,1,2.

4.     יהי Z_k מספר הסטודנטים עם  k מנחים עבור k=0,1. מצא את המקדם המתאם של Z_1 ו-W_1+W_2. 

בהצלחה!!!

ולא לשכוח את הפרסים המענגים. ;)

 הוכחה נאותה!!!

החתולה המחוקקת של גולדבאך (מיאו!) X^_^X